Solveur Parallèle pour l'Equation de Poisson sur Mailles Superposées et Hiérarchiques, dans le Cadre du Langage Python

Adaptive discretizations are important in compressible/incompressible flow problems since it is often necessary to resolve details on multiple levels, allowing large regions of space to be modeled using a reduced number of degrees of freedom (reducing the computational time). There are a wide variety of methods for adaptively discretizing space, but Cartesian grids have often outperformed them even at high resolutions due to their simple and accurate numerical stencils and their superior parallel performances. Such performance and simplicity are in general obtained applying a finite-difference scheme for the resolution of the problems involved, but this discretization approach does not present, by contrast, an easy adapting path. In a finite-volume scheme, instead, we can incorporate different types of grids, more suitable for adaptive refinements, increasing the complexity on the stencils and getting a greater flexibility. The Laplace operator is an essential building block of the Navier-Stokes equations, a model that governs fluid flows, but it occurs also in differential equations that describe many other physical phenomena, such as electric and gravitational potentials, and quantum mechanics. So, it is a very important differential operator, and all the studies carried out on it, prove its relevance. In this work will be presented 2D finite-difference and finite-volume approaches to solve the Laplacian operator, applying patches of overlapping grids where a more fined level is needed, leaving coarsermeshes in the rest of the computational domain. These overlapping grids will have generic quadrilateral shapes. Specifically, the topics covered will be: 1) introduction to the finite difference method, finite volume method, domain partitioning, solution approximation; 2)overview of different types of meshes to represent in a discrete way the geometry involved in a problem, with a focus on the octree data structure, presenting PABLO and PABLitO. The first one is an external library used to manage each single grid’s creation, load balancing andinternal communications, while the second one is the Python API of that library written ad hoc for the current project; 3) presentation of the algorithm used to communicate data between meshes (being all of them unaware of each other’s existence) using MPI inter-communicators and clarification of the monolithic approach applied building the final matrix for the system to solve, taking into account diagonal, restriction and prolongation blocks; 4) presentation of some results; conclusions, references. It is important to underline that everything is done under Python as programming framework, using Cython for the writing of PABLitO, MPI4Py for the communications between grids, PETSc4py for the assembling and resolution parts of the system of unknowns, NumPy for contiguous memory buffer objects. The choice of this programming language has been made because Python, easy to learn and understand, is today a significant contender for the numerical computing and HPC ecosystem, thanks to its clean style, its packages, its compilers and, why not, its specific architecture optimized versions.Les discrétisations adaptatives sont importantes dans les problèmes de flux compressible/incompressible puisqu'il est souvent nécessaire de résoudre des détails sur plusieurs niveaux, en permettant de modéliser de grandes régions d'espace en utilisant un nombre réduit de degrés de liberté (et en réduisant le temps de calcul). Il existe une grande variété de méthodes de discrétisation adaptative, mais les grilles cartésiennes sont les plus efficaces, grâce à leurs stencils numériques simples et précis et à leurs performances parallèles supérieures. Et telles performance et simplicité sont généralement obtenues en appliquant un schéma de différences finies pour la résolution des problèmes, mais cette approche de discrétisation ne présente pas, au contraire, un chemin facile d'adaptation.Dans un schéma de volumes finis, en revanche, nous pouvons incorporer différents types de maillages, plus appropriées aux raffinements adaptatifs, en augmentant la complexité sur les stencils et en obtenant une plus grande flexibilité. L'opérateur de Laplace est un élémentessentiel des équations de Navier-Stokes, un modèle qui gouverne les écoulements de fluides, mais il se produit également dans des équations différentielles qui décrivent de nombreux autres phénomènes physiques, tels que les potentiels électriques et gravitationnels. Il s'agit donc d'un opérateur différentiel très important, et toutes les études qui ont été effectuées sur celui-ci, prouvent sa pertinence. Dans ce travail seront présentés des approches de différences finies et de volumes finis 2D pour résoudre l'opérateur laplacien, en appliquant des patchs de grilles superposées où un niveau plus fin est nécessaire, en laissant des maillages plus grossiers dans le reste du domaine de calcul. Ces grilles superposées auront des formes quadrilatérales génériques. Plus précisément, les sujets abordés seront les suivants: 1) introduction à la méthode des différences finies, méthode des volumes finis, partitionnement des domaines, approximation de la solution; 2)récapitulatif des différents types de maillages pour représenter de façon discrète la géométrie impliquée dans un problème, avec un focus sur la structure de données octree, présentant PABLO et PABLitO. Le premier est une bibliothèque externe utilisée pour gérer la création de chaque grille, l'équilibrage de charge et les communications internes, tandis que la seconde est l'API Python de cette bibliothèque, écrite ad hoc pour le projet en cours; 3) la présentation de l'algorithme utilisé pour communiquer les données entre les maillages (en ignorant chacune l'existence de l'autre) en utilisant les intercommunicateurs MPI et la clarification de l'approche monolithique appliquée à la construction finale de la matrice pour résoudre le système, en tenant compte des blocs diagonaux, de restriction et de prolongement; 4) la présentation de certains résultats; conclusions, références. Il est important de souligner que tout est fait sous Python comme framework de programmation, en utilisant Cython pour l'écriture de PABLitO, MPI4Py pour les communications entre grilles, PETSc4py pour les parties assemblage et résolution du système d'inconnues, NumPy pour les objets à mémoire continue. Le choix de ce langage de programmation a été fait car Python, facile à apprendre et à comprendre, est aujourd'hui un concurrent significatif pour l'informatique numérique et l'écosystème HPC, grâce à son style épuré, ses packages, ses compilateurs et pourquoi pas ses versions optimisées pour des architectures spécifiques

Evolution of populations expanding on curved surfaces

The expansion of a population into new habitat is a transient process that leaves its footprints in the genetic composition of the expanding population. How the structure of the environment shapes the population front and the evolutionary dynamics during such a range expansion is little understood. Here, we investigate the evolutionary dynamics of populations consisting of many selectively neutral genotypes expanding on curved surfaces. Using a combination of individual-based off-lattice simulations, geometrical arguments, and lattice-based stepping-stone simulations, we characterise the effect of individual bumps on an otherwise flat surface. Compared to the case of a range expansion on a flat surface, we observe a transient relative increase, followed by a decrease, in neutral genetic diversity at the population front. In addition, we find that individuals at the sides of the bump have a dramatically increased expected number of descendants, while their neighbours closer to the bump's centre are far less lucky. Both observations can be explained using an analytical description of straight paths (geodesics) on the curved surface. Complementing previous studies of heterogeneous flat environments, the findings here build our understanding of how complex environments shape the evolutionary dynamics of expanding populations.Comment: This preprint has also been posted to http://www.biorxiv.org with doi: 10.1101/406280. Seven pages with 5 figures, plus an appendix containing 3 pages with 1 figur

RISC-V-Based Platforms for HPC: Analyzing Non-functional Properties for Future HPC and Big-Data Clusters

High-Performance Computing (HPC) have evolved to be used to perform simulations of systems where physical experimentation is prohibitively impractical, expensive, or dangerous. This paper provides a general overview and showcases the analysis of non-functional properties in RISC-V-based platforms for HPCs. In particular, our analyses target the evaluation of power and energy control, thermal management, and reliability assessment of promising systems, structures, and technologies devised for current and future generation of HPC machines. The main set of design methodologies and technologies developed within the activities of the Future and HPC & Big Data spoke of the National Centre of HPC, Big Data and Quantum Computing project are described along with the description of the testbed for experimenting two-phase cooling approaches

Controllo ottimo di sistemi lineari con indice quadratico

Il trattato si occupa di definire qualitativamente e quantitativamente la teoria che rigurada la minimizzazione di un indice di costo associato ad un sistema lineare. Il problema trattato è più generare di quello che si vede in un corso di teoria dei sistemi e prevede l'uso di strumenti come la pseudo-inversa e l'equazione generalizzata di Riccati. La soluzione del problema è infine fornita sia su orizzonte temporale finito che infinit

Discretization of the Laplacian operator using a multitude of overlapping cartesian grids

International audienceAdaptive discretizations are important in many multiscale problems, where it is critical to reduce the computational time while achieving the same or greater accuracy in particular regions of the computational domain. Finite differences applied on Cartesian grids are of course a very simple numerical method for solving differential equations, but do not allow adaptive discretizations, forcing the user to refine the computational domain globally. Moreover, when the grid is not cartesian, the discretization of the differential operators in space must take into account the metrics, making grid transformations a bit annoying to handle. This talk presents a 2D adaptive finite-difference method to discretize the Laplacian operator on a computational domain made of multiple overlapping grids, defined by a generic quadrilateral. Adaptive discretizations are important in compressible/incompressible flow problems since it is often necessary to resolve details on multiple levels allowing large regions of space to be modeled using a reduced number of degrees of freedom (reducing the computational time). There are a wide variety of methods for adaptively discretizing space, but Cartesian grids have often outperformed them even at high resolutions due to their simple and accurate numerical stencils and their superior parallel performances. The Laplace operator is an essential building block of the Navier-Stokes equations, a model that governs fluid flows. In this talk will be presented a 2D finite-difference approach to solve a Laplacian operator, applying patches of overlapping grids where a more fined level is needed, leaving coarser meshes in the rest of the computational domain. These overlapping grids will have generic quadrilateral shapes. Specifically, the talk will cover the following topics: introduction to the finite difference methods, domain partitioning, solution approximation; overview of different types of meshes to represent in a discrete way the geometry involved in a problem, with a focus on the octree data structure, presenting PABLO and PABLitO. The first one is an external library used to manage each single grid's creation, load balancing and internal communications, while the second one is the Python API of that library written ad hoc for the project; presentation of the algorithm used to communicate data between meshes (being all of them unaware of each other's existence) using MPI inter-communicators and clarification of the monolithic approach applied building the final matrix for the system to solve, taking into account diagonal, restriction and prolongation blocks; presentation of some results; conclusions, references

Solveur parallèle pour l’équation de Poisson sur mailles superposées et hiérarchiques, dans le cadre du langage Python

Adaptive discretizations are important in compressible/incompressible flow problems since it is often necessary to resolve details on multiple levels,allowing large regions of space to be modeled using a reduced number of degrees of freedom (reducing the computational time).There are a wide variety of methods for adaptively discretizing space, but Cartesian grids have often outperformed them even at high resolutions due totheir simple and accurate numerical stencils and their superior parallel performances.Such performance and simplicity are in general obtained applying afinite-difference scheme for the resolution of the problems involved, but this discretization approach does not present, by contrast, an easy adapting path.In a finite-volume scheme, instead, we can incorporate different types of grids,more suitable for adaptive refinements, increasing the complexity on thestencils and getting a greater flexibility.The Laplace operator is an essential building block of the Navier-Stokes equations, a model that governs fluid flows, but it occurs also in differential equations that describe many other physical phenomena, such as electric and gravitational potentials, and quantum mechanics. So, it is a very importantdifferential operator, and all the studies carried out on it, prove itsrelevance.In this work will be presented 2D finite-difference and finite-volume approaches to solve the Laplacian operator, applying patches of overlapping grids where amore fined level is needed, leaving coarser meshes in the rest of the computational domain.These overlapping grids will have generic quadrilateral shapes.Specifically, the topics covered will be:1) introduction to the finite difference method, finite volume method, domainpartitioning, solution approximation;2) overview of different types of meshes to represent in a discrete way thegeometry involved in a problem, with a focuson the octree data structure, presenting PABLO and PABLitO. The first one is anexternal library used to manage each single grid’s creation, load balancing and internal communications, while the second one is the Python API ofthat library written ad hoc for the current project;3) presentation of the algorithm used to communicate data between meshes (beingall of them unaware of each other’s existence) using MPI inter-communicators and clarification of the monolithic approach applied building the finalmatrix for the system to solve, taking into account diagonal, restriction and prolongation blocks;4) presentation of some results; conclusions, references.It is important to underline that everything is done under Python as programmingframework, using Cython for the writing of PABLitO, MPI4Py for the communications between grids, PETSc4py for the assembling and resolution partsof the system of unknowns, NumPy for contiguous memory buffer objects.The choice of this programming language has been made because Python, easy to learn and understand, is today a significant contender for the numerical computing and HPC ecosystem, thanks to its clean style, its packages, its compilers and, why not, its specific architecture optimized versions.Les discrétisations adaptatives sont importantes dans les problèmes de fluxcompressible/incompressible puisqu'il est souvent nécessaire de résoudre desdétails sur plusieurs niveaux, en permettant de modéliser de grandes régionsd'espace en utilisant un nombre réduit de degrés de liberté (et en réduisant letemps de calcul).Il existe une grande variété de méthodes de discrétisation adaptative, maisles grilles cartésiennes sont les plus efficaces, grâce à leurs stencilsnumériques simples et précis et à leurs performances parallèles supérieures.Et telles performance et simplicité sont généralement obtenues en appliquant unschéma de différences finies pour la résolution des problèmes, mais cetteapproche de discrétisation ne présente pas, au contraire, un chemin faciled'adaptation.Dans un schéma de volumes finis, en revanche, nous pouvons incorporer différentstypes de maillages, plus appropriées aux raffinements adaptatifs, en augmentantla complexité sur les stencils et en obtenant une plus grande flexibilité.L'opérateur de Laplace est un élément essentiel des équations de Navier-Stokes,un modèle qui gouverne les écoulements de fluides, mais il se produit égalementdans des équations différentielles qui décrivent de nombreux autres phénomènesphysiques, tels que les potentiels électriques et gravitationnels. Il s'agitdonc d'un opérateur différentiel très important, et toutes les études qui ontété effectuées sur celui-ci, prouvent sa pertinence.Dans ce travail seront présentés des approches de différences finies et devolumes finis 2D pour résoudre l'opérateur laplacien, en appliquant des patchsde grilles superposées où un niveau plus fin est nécessaire, en laissant desmaillages plus grossiers dans le reste du domaine de calcul.Ces grilles superposées auront des formes quadrilatérales génériques.Plus précisément, les sujets abordés seront les suivants:1) introduction à la méthode des différences finies, méthode des volumes finis,partitionnement des domaines, approximation de la solution;2) récapitulatif des différents types de maillages pour représenter de façondiscrète la géométrie impliquée dans un problème, avec un focussur la structure de données octree, présentant PABLO et PABLitO. Le premier estune bibliothèque externe utilisée pour gérer la création de chaque grille,l'équilibrage de charge et les communications internes, tandis que la secondeest l'API Python de cette bibliothèque, écrite ad hoc pour le projet en cours;3) la présentation de l'algorithme utilisé pour communiquer les données entreles maillages (en ignorant chacune l'existence de l'autre) en utilisant lesintercommunicateurs MPI et la clarification de l'approche monolithique appliquéeà la construction finale de la matrice pour résoudre le système, en tenantcompte des blocs diagonaux, de restriction et de prolongement;4) la présentation de certains résultats; conclusions, références.Il est important de souligner que tout est fait sous Python comme framework deprogrammation, en utilisant Cython pour l'écriture de PABLitO, MPI4Py pour lescommunications entre grilles, PETSc4py pour les parties assemblage et résolutiondu système d'inconnues, NumPy pour les objets à mémoire continue.Le choix de ce langage de programmation a été fait car Python, facile àapprendre et à comprendre, est aujourd'hui un concurrent significatif pourl'informatique numérique et l'écosystème HPC, grâce à son style épuré, sespackages, ses compilateurs et pourquoi pas ses versions optimisées pour desarchitectures spécifiques

Distributed message passing with MPI4Py

MPI4Py provides open source Python bindings to most of the functionality of MPI-1/2/3 specifications of the Message Passing Interface, considered the de facto standard for distributed memory programming. This tutorial will describe the core concepts of this set of functions, will provide descriptions of the point to point and collective communication methods for primitive and composite datatypes, demonstrating their use in code examples made in a pure Python environment. In a programming language where the GIL bosses around, MPI4Py boosts performances simply exposing the API of the MPI standard to the users without the need to " get their hands dirty working on bare metal " , and giving them the capability to use multiple processes to solve their problems. This tutorial will cover the following aspects, interleaving theoretical parts with practical programming examples (written, of course, in Python and sometimes compared to the corresponding C/C++ versions): introduction on distributed memory programming and brief history of MPI; differences between SPMD (Single Program, Multiple Data) and MPMD (Multiple program, Multiple Data) paradigms, although both of them are used to write MPI software; MPI core concepts: MPI processes, inter and intra communicators, message routing and buffering. These concepts will help in understanding and providing context for all of those abilities MPI provides; MPI and MPI4Py environment management routines. This group of routines is used for initializing, terminating, interrogating and setting the MPI execution environment, and covers an assortment of purposes such as querying a rank's identity, querying the MPI library's version, and so on (the famous Hello World! section :-)); point to point communications: they encompass all the methods MPI offers to transmit a message between a pair of processes. Blocking (buffered, synchronous and ready) and non blocking (immediate) communications will be presented; collective communications: the term collective communications refers to operations that involve more than two nodes, allowing them to take place concurrently. One-to-all, All-to-one and All-to-all groups will be explored; Differences between communications of generic Python Data Objects and Buffer Like Objects. MPI4Py can communicate any built-in or user-defined Python object, but this approach imposes important overheads in memory as well as processor usage, especially in the scenario of objects with large memory footprints being communicated. That's why MPI4Py supports also direct communication of any object allowing access to a contiguous memory buffer (specified by its address and extent) containing the relevant data, with negligible overhead. Examples of these datatypes are the NumPy array-objects; MPI Datatypes. Many algorithms require that the user specify the type of data which is sent between processors, which usually is different from the predefined MPI datatypes; conclusions, references, useful links

Parallel solver for the Poisson equation on a hierarchy of superimposed meshes, under a Python framework

Les discrétisations adaptatives sont importantes dans les problèmes de fluxcompressible/incompressible puisqu'il est souvent nécessaire de résoudre desdétails sur plusieurs niveaux, en permettant de modéliser de grandes régionsd'espace en utilisant un nombre réduit de degrés de liberté (et en réduisant letemps de calcul).Il existe une grande variété de méthodes de discrétisation adaptative, maisles grilles cartésiennes sont les plus efficaces, grâce à leurs stencilsnumériques simples et précis et à leurs performances parallèles supérieures.Et telles performance et simplicité sont généralement obtenues en appliquant unschéma de différences finies pour la résolution des problèmes, mais cetteapproche de discrétisation ne présente pas, au contraire, un chemin faciled'adaptation.Dans un schéma de volumes finis, en revanche, nous pouvons incorporer différentstypes de maillages, plus appropriées aux raffinements adaptatifs, en augmentantla complexité sur les stencils et en obtenant une plus grande flexibilité.L'opérateur de Laplace est un élément essentiel des équations de Navier-Stokes,un modèle qui gouverne les écoulements de fluides, mais il se produit égalementdans des équations différentielles qui décrivent de nombreux autres phénomènesphysiques, tels que les potentiels électriques et gravitationnels. Il s'agitdonc d'un opérateur différentiel très important, et toutes les études qui ontété effectuées sur celui-ci, prouvent sa pertinence.Dans ce travail seront présentés des approches de différences finies et devolumes finis 2D pour résoudre l'opérateur laplacien, en appliquant des patchsde grilles superposées où un niveau plus fin est nécessaire, en laissant desmaillages plus grossiers dans le reste du domaine de calcul.Ces grilles superposées auront des formes quadrilatérales génériques.Plus précisément, les sujets abordés seront les suivants:1) introduction à la méthode des différences finies, méthode des volumes finis,partitionnement des domaines, approximation de la solution;2) récapitulatif des différents types de maillages pour représenter de façondiscrète la géométrie impliquée dans un problème, avec un focussur la structure de données octree, présentant PABLO et PABLitO. Le premier estune bibliothèque externe utilisée pour gérer la création de chaque grille,l'équilibrage de charge et les communications internes, tandis que la secondeest l'API Python de cette bibliothèque, écrite ad hoc pour le projet en cours;3) la présentation de l'algorithme utilisé pour communiquer les données entreles maillages (en ignorant chacune l'existence de l'autre) en utilisant lesintercommunicateurs MPI et la clarification de l'approche monolithique appliquéeà la construction finale de la matrice pour résoudre le système, en tenantcompte des blocs diagonaux, de restriction et de prolongement;4) la présentation de certains résultats; conclusions, références.Il est important de souligner que tout est fait sous Python comme framework deprogrammation, en utilisant Cython pour l'écriture de PABLitO, MPI4Py pour lescommunications entre grilles, PETSc4py pour les parties assemblage et résolutiondu système d'inconnues, NumPy pour les objets à mémoire continue.Le choix de ce langage de programmation a été fait car Python, facile àapprendre et à comprendre, est aujourd'hui un concurrent significatif pourl'informatique numérique et l'écosystème HPC, grâce à son style épuré, sespackages, ses compilateurs et pourquoi pas ses versions optimisées pour desarchitectures spécifiques.Adaptive discretizations are important in compressible/incompressible flow problems since it is often necessary to resolve details on multiple levels,allowing large regions of space to be modeled using a reduced number of degrees of freedom (reducing the computational time).There are a wide variety of methods for adaptively discretizing space, but Cartesian grids have often outperformed them even at high resolutions due totheir simple and accurate numerical stencils and their superior parallel performances.Such performance and simplicity are in general obtained applying afinite-difference scheme for the resolution of the problems involved, but this discretization approach does not present, by contrast, an easy adapting path.In a finite-volume scheme, instead, we can incorporate different types of grids,more suitable for adaptive refinements, increasing the complexity on thestencils and getting a greater flexibility.The Laplace operator is an essential building block of the Navier-Stokes equations, a model that governs fluid flows, but it occurs also in differential equations that describe many other physical phenomena, such as electric and gravitational potentials, and quantum mechanics. So, it is a very importantdifferential operator, and all the studies carried out on it, prove itsrelevance.In this work will be presented 2D finite-difference and finite-volume approaches to solve the Laplacian operator, applying patches of overlapping grids where amore fined level is needed, leaving coarser meshes in the rest of the computational domain.These overlapping grids will have generic quadrilateral shapes.Specifically, the topics covered will be:1) introduction to the finite difference method, finite volume method, domainpartitioning, solution approximation;2) overview of different types of meshes to represent in a discrete way thegeometry involved in a problem, with a focuson the octree data structure, presenting PABLO and PABLitO. The first one is anexternal library used to manage each single grid’s creation, load balancing and internal communications, while the second one is the Python API ofthat library written ad hoc for the current project;3) presentation of the algorithm used to communicate data between meshes (beingall of them unaware of each other’s existence) using MPI inter-communicators and clarification of the monolithic approach applied building the finalmatrix for the system to solve, taking into account diagonal, restriction and prolongation blocks;4) presentation of some results; conclusions, references.It is important to underline that everything is done under Python as programmingframework, using Cython for the writing of PABLitO, MPI4Py for the communications between grids, PETSc4py for the assembling and resolution partsof the system of unknowns, NumPy for contiguous memory buffer objects.The choice of this programming language has been made because Python, easy to learn and understand, is today a significant contender for the numerical computing and HPC ecosystem, thanks to its clean style, its packages, its compilers and, why not, its specific architecture optimized versions

Solveur Parallèle pour l'Equation de Poisson sur Mailles Superposées et Hiérarchiques, dans le Cadre du Langage Python

Adaptive discretizations are important in compressible/incompressible flow problems since it is often necessary to resolve details on multiple levels, allowing large regions of space to be modeled using a reduced number of degrees of freedom (reducing the computational time). There are a wide variety of methods for adaptively discretizing space, but Cartesian grids have often outperformed them even at high resolutions due to their simple and accurate numerical stencils and their superior parallel performances. Such performance and simplicity are in general obtained applying a finite-difference scheme for the resolution of the problems involved, but this discretization approach does not present, by contrast, an easy adapting path. In a finite-volume scheme, instead, we can incorporate different types of grids, more suitable for adaptive refinements, increasing the complexity on the stencils and getting a greater flexibility. The Laplace operator is an essential building block of the Navier-Stokes equations, a model that governs fluid flows, but it occurs also in differential equations that describe many other physical phenomena, such as electric and gravitational potentials, and quantum mechanics. So, it is a very important differential operator, and all the studies carried out on it, prove its relevance. In this work will be presented 2D finite-difference and finite-volume approaches to solve the Laplacian operator, applying patches of overlapping grids where a more fined level is needed, leaving coarsermeshes in the rest of the computational domain. These overlapping grids will have generic quadrilateral shapes. Specifically, the topics covered will be: 1) introduction to the finite difference method, finite volume method, domain partitioning, solution approximation; 2)overview of different types of meshes to represent in a discrete way the geometry involved in a problem, with a focus on the octree data structure, presenting PABLO and PABLitO. The first one is an external library used to manage each single grid’s creation, load balancing andinternal communications, while the second one is the Python API of that library written ad hoc for the current project; 3) presentation of the algorithm used to communicate data between meshes (being all of them unaware of each other’s existence) using MPI inter-communicators and clarification of the monolithic approach applied building the final matrix for the system to solve, taking into account diagonal, restriction and prolongation blocks; 4) presentation of some results; conclusions, references. It is important to underline that everything is done under Python as programming framework, using Cython for the writing of PABLitO, MPI4Py for the communications between grids, PETSc4py for the assembling and resolution parts of the system of unknowns, NumPy for contiguous memory buffer objects. The choice of this programming language has been made because Python, easy to learn and understand, is today a significant contender for the numerical computing and HPC ecosystem, thanks to its clean style, its packages, its compilers and, why not, its specific architecture optimized versions.Les discrétisations adaptatives sont importantes dans les problèmes de flux compressible/incompressible puisqu'il est souvent nécessaire de résoudre des détails sur plusieurs niveaux, en permettant de modéliser de grandes régions d'espace en utilisant un nombre réduit de degrés de liberté (et en réduisant le temps de calcul). Il existe une grande variété de méthodes de discrétisation adaptative, mais les grilles cartésiennes sont les plus efficaces, grâce à leurs stencils numériques simples et précis et à leurs performances parallèles supérieures. Et telles performance et simplicité sont généralement obtenues en appliquant un schéma de différences finies pour la résolution des problèmes, mais cette approche de discrétisation ne présente pas, au contraire, un chemin facile d'adaptation.Dans un schéma de volumes finis, en revanche, nous pouvons incorporer différents types de maillages, plus appropriées aux raffinements adaptatifs, en augmentant la complexité sur les stencils et en obtenant une plus grande flexibilité. L'opérateur de Laplace est un élémentessentiel des équations de Navier-Stokes, un modèle qui gouverne les écoulements de fluides, mais il se produit également dans des équations différentielles qui décrivent de nombreux autres phénomènes physiques, tels que les potentiels électriques et gravitationnels. Il s'agit donc d'un opérateur différentiel très important, et toutes les études qui ont été effectuées sur celui-ci, prouvent sa pertinence. Dans ce travail seront présentés des approches de différences finies et de volumes finis 2D pour résoudre l'opérateur laplacien, en appliquant des patchs de grilles superposées où un niveau plus fin est nécessaire, en laissant des maillages plus grossiers dans le reste du domaine de calcul. Ces grilles superposées auront des formes quadrilatérales génériques. Plus précisément, les sujets abordés seront les suivants: 1) introduction à la méthode des différences finies, méthode des volumes finis, partitionnement des domaines, approximation de la solution; 2)récapitulatif des différents types de maillages pour représenter de façon discrète la géométrie impliquée dans un problème, avec un focus sur la structure de données octree, présentant PABLO et PABLitO. Le premier est une bibliothèque externe utilisée pour gérer la création de chaque grille, l'équilibrage de charge et les communications internes, tandis que la seconde est l'API Python de cette bibliothèque, écrite ad hoc pour le projet en cours; 3) la présentation de l'algorithme utilisé pour communiquer les données entre les maillages (en ignorant chacune l'existence de l'autre) en utilisant les intercommunicateurs MPI et la clarification de l'approche monolithique appliquée à la construction finale de la matrice pour résoudre le système, en tenant compte des blocs diagonaux, de restriction et de prolongement; 4) la présentation de certains résultats; conclusions, références. Il est important de souligner que tout est fait sous Python comme framework de programmation, en utilisant Cython pour l'écriture de PABLitO, MPI4Py pour les communications entre grilles, PETSc4py pour les parties assemblage et résolution du système d'inconnues, NumPy pour les objets à mémoire continue. Le choix de ce langage de programmation a été fait car Python, facile à apprendre et à comprendre, est aujourd'hui un concurrent significatif pour l'informatique numérique et l'écosystème HPC, grâce à son style épuré, ses packages, ses compilateurs et pourquoi pas ses versions optimisées pour des architectures spécifiques